ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. Страницы памяти

Андрей Николаевич Тихонов. Серия Замечательные ученые физического факультета МГУ.
Выпуск VIII. Москва, Физический факультет МГУ, 2004.

Задачи теплопроводности и теоретической геотермики

Одновременно с началом работы в университете в 1930 г. А.Н.Тихонов был зачислен на должность ученого специалиста Гидрометеослужбы. С 1931 г. он работал в качестве ученого специалиста Государственного Геофизического института, а затем в Центральном Институте Экспериментальной Метеорологии и Гидрологии до момента его расформирования. В 1935 г. он переходит на должность старшего специалиста математического отдела в Институте Географии.

Изменение места работы способствовало появлению новых интересов. Его начинают интересовать задачи теоретической геофизики. Первые его исследования были связаны с определением исторического климата Земли, с вопросами мерзлотоведения. "В начале 30-х годов широко дискутировался вопрос о происхождении вечной мерзлоты и о связи ее с предшествующими похолоданиями. Естественно, что изменение климатических условий накладывает свой отпечаток на температурный разрез земной коры. Ставилась задача о возможности определения исторического климата Земли по известному современному распределению температуры с глубиной" [9]. В простейшем приближении распространение температуры вглубь Земли описывается уравнением теплопроводности на полубесконечном промежутке. В задаче определения исторического климата Земли требуется по наблюдениям температуры на разных глубинах в определенный момент времени восстановить ее изменение на поверхности в предшествующий период времени.

Исследования Андрея Николаевича в этом направлении показали, что имеющейся информации, полученной в глубинных скважинах, недостаточно, и эта информация имеет слишком большую ошибку для решения задачи восстановления температурного режима на поверхности. "Кроме того, необходимо было решить основной принципиальный вопрос о правомерности самой постановки такой обратной задачи. В самом деле, если двум различным возможным историческим изменениям температуры поверхности Земли может соответствовать одно и то же распределение температуры с глубиной в настоящее время, то постановка задачи об определении исторического климата Земли была бы неправомерной" [9].

Исследования А.Н.Тихонова привели к результатам, ставшими теперь классическими. Он показал, что решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в бесконечной области без учета дополнительных условий не будет единственным. Для единственности необходимо потребовать выполнение условия ограничения роста решения на бесконечности. Одновременно А.Н.Тихонов поставил и исследовал обратную задачу теплопроводности. Он доказал фундаментальную теорему о том, что решение u=(x,t) уравнения теплопроводности в области x > 0 -/infin<t<t0, определяется однозначно по заданному значению I>u(x, t0) = при условии, что производная решения по координате равномерно ограничена. Таким образом, были сформулированы условия, при которых обратная задача реконструкции палеоклимата имеет единственное решение.

При решении обратной задачи восстановления палеоклимата важную роль играет точность исходной информации, т.е. точность измерения температуры в имевшихся в то время глубинных скважинах. Эти методические вопросы продолжают интересовать Андрея Николаевича в последующие годы, и им посвящены две работы – “Математическая теория термопары“ (1935) и “О термическом режиме глубокой скважины Сковородинской мерзлотной станции “(1939).

"Далее были получены результаты, посвященные сравнению областей, для которых разрешимы (в классическом смысле) первая краевая задача для уравнения теплопроводности и задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Гельмгольца. А.Н.Тихонов определил фундаментальную область для данной краевой задачи как такую, для которой разрешима соответствующая задача. Затем доказал следующие утверждения :

1)всякая ограниченная область, фундаментальная для уравнения теплопроводности, является фундаментальной областью и для уравнения Лапласа;

2)всякая область, фундаментальная для уравнения /delta u - /alpha u=0 при некотором /alpha >= 0 , является фундаментальной областью для уравнения /delta u - /lamda u = 0. при любом /lamda >=0

3)всякая область, фундаментальная для уравнения /delta u - /lamda u=0 при любом /lamda >= /lamda 0, является фундаментальной и для уравнения теплопроводности " [1] .

Для учета влияния излучения на температурный режим земной коры А.Н.Тихоновым были изучены задачи для уравнения теплопроводности при нелинейных краевых условиях. Им была предложена редукция, сводящая эти задачи к нелинейным интегральным уравнениям типа Вольтерра. "Андреем Николаевичем было введено весьма общее определение оператора Вольтерра как оператора v(P,t,/phi), определённого при t >= 0 для элементов P некоторого множества E и для функций /phi (Q, τ); Q /in E, τ <= t. Он. рассмотрел также вопрос о способах решений функционального уравнения /phi (t) = v (P,t,/phi). Были выяснены условия применимости для решения этого функционального уравнения метода последовательных приближений Пикара или метода полигональных приближений Коши-Липшица" [1].

Развитием и обобщением цикла работ, связанных с решением нелинейных интегральных уравнений, стала докторская диссертация А.Н.Тихонова, защищенная им в 1936 г. на тему "О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их приложение к уравнениям математической физики". "В качестве приложений полученных результатов к задачам математической физики был рассмотрен ряд задач теплопроводности, в частности, задача об остывании тела при лучеиспускании с поверхности, следующему закону Стефана-Больцмана. Эти результаты были использованы В.Г.Фесенковым при исследовании свойств поверхности Луны" [1].

В это же время А.Н.Тихоновым было изучено влияние радиоактивного распада на температуру земной коры. В работе, опубликованной в 1937 г., дается оценка влияния тех или иных количественных факторов на температурное поле Земли. В предположении, что термическое поле Земли близко к стационарному, была установлена формула, связывающая распределение радиоактивных элементов с наблюдаемой величиной теплового потока у поверхности, как для однородной, так и для неоднородной структуры земной коры.

Интерес к термической истории Земли сохранился у Андрея Николаевича на долгие годы. В 1969 г. была опубликована его совместная с Е.А.Любимовой и В.К.Власовым работа “Об эволюции зон плавления в термической истории Земли”, и далее результаты этой работы были углублены в публикации 1972 г. "При нагревании Земли за счет энергии радиоактивных источников на глубине 300-1000 км возникают слои расплава. Исследование полной задачи о развитии возникающих слоев расплава приводит к нелинейной задаче Стефана. Математическое моделирование этого процесса показало, что возникающий слой расплава начинает расширяться и автоматически выносится к поверхности Земли. Достигая глубин порядка нескольких десятков километров, он прекращает свое существование из-за теплоотдачи с поверхности Земли. Затем процесс повторяется, т.е. вновь возникает слой расплава, поднимающийся к земной поверхности. Возникают термические циклы. В зависимости от термических условий число таких циклов колеблется в пределах 13-18 циклов, что согласуется с числом наиболее крупных геологических катаклизмов, которые следуют друг за другом с периодичностью порядка 100 млн. лет. Проведенные исследования одновременно явились теоретической базой известной гипотезы академика А.П.Виноградова о зонной плавке как основном механизме разделения на геосферы " [9].