ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. Страницы памяти

Андрей Николаевич Тихонов. Серия Замечательные ученые физического факультета МГУ.
Выпуск VIII. Москва, Физический факультет МГУ, 2004.

"В 40-х годах во многих областях физики и радиотехники стали широко применяться радиоволноводы - полые металлические трубы, служащие для направленной передачи энергии высокочастотных электромагнитных колебаний. При этом постановка эксперимента требовала знания достаточно полных характеристик процесса распространения и возбуждения электромагнитных волн в волноводе; наглядных представлений о характере распространения колебаний в трубах, развитых еще Рэлеем, уже было недостаточно.

Одним из первых вопрос возбуждения волновода произвольно распределенными токами исследовал Г.В.Кисунько. В работах 1946 г. им была построена полная ортогональная система векторных функций, при помощи которой удалось получить выражение решения неоднородных уравнений Максвелла для волновода произвольного сечения. Однако оставались открытыми вопросы математического обоснования и простоты реализации предложенного алгоритма.

В 1947-1949 гг. А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским была создана полная математическая теория возбуждения регулярных волноводов произвольно заданными токами. Было показано, что произвольное поле внутри волновода в области, свободной от источников, может быть представлено в виде суперпозиции ТЕ и ТМ волн, являющихся частными решениями однородной системы уравнений Максвелла, в которых или электрический (ТЕ волны), или магнитный (ТМ волны) - вектор не имеет составляющей вдоль направления распространения. Тем самым проблема произвольного возбуждения волновода оказалась сведенной к задаче построения функции источника уравнения Гельмгольца внутри цилиндрической области при однородных граничных условиях первого или второго рода на ее поверхности. Решение последней задачи представляется в виде разложения по собственным функциям оператора Лапласа для плоской области, являющейся поперечным сечением волновода. Для доказательства сходимости полученного ряда и выяснения характера особенности решения в точке помещения источника было проведено исследование аналитических свойств решения уравнения

Общие математические результаты, полученные А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским при исследовании задачи произвольного возбуждения регулярных волноводов, послужили теоретическим основанием многих практических методов расчета радиоволноводов и волноводных элементов, играющих огромную роль в современной электронике. В частности, ими были решены задачи определения сопротивления излучения линейных антенн, находящихся внутри волновода.

В дальнейшем близкие идеи были положены А.Г.Свешниковым в основу разработанных им алгоритмов исследования распространения электромагнитных колебаний в нерегулярных волноводах с анизотропным заполнением и боковой поверхностью сложной формы" [2].

Среди результатов работ А.Н.Тихонова и А.А.Самарского по электродинамике следует отметить обоснование общего метода построения функции Грина для системы уравнений Максвелла в цилиндрической области с произвольным сечением.

Одним из рассмотренных А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским вопросов в теории волноводов явились условия на бесконечности. Поскольку условия Зоммерфельда не удобны при наличии границ области решения задачи и источников на бесконечности, был поставлен вопрос о формулировке общего принципа и дан ответ в форме принципа предельной амплитуды. Идея принципа предельной амплитуды состоит в переходе к начально-краевой задаче для волнового уравнения и доказательстве существования предельной (по времени) амплитуды – решения задачи об установившихся колебаниях.

Другой принцип, который Андрей Николаевич предложил рассмотреть своему дипломнику А.Г.Свешникову, был принцип предельного поглощения. Идея состоит в переходе к другой задаче в среде с поглощением. В такой среде естественным условием, выделяющим решение, является его ограниченность. Затем совершается предельный переход при стремлении поглощения к нулю. Полученный предел берется за решение исходной задачи.

Этот принцип был исследован и обобщен Алексеем Георгиевичем Свешниковым на случай общего несамосопряженного и незнакоопределенного эллиптического оператора и на случай различных граничных условий. Надо отметить, что решение, найденное таким путем, является асимптотическим при стремлении поглощения к нулю, что затрудняет численную реализацию принципа. А.Г.Свешникову удалось сформулировать принцип парциальных условий излучения, в котором на решение на фиктивной границе заданной области накладываются условия в виде некоторых функционалов. Тем самым возможно перейти к задаче в ограниченной области. Такой подход позволил создать алгоритмы численного решения большого круга прямых и обратных задач распространения радиоволн в неограниченной области, а также рассматривать задачи синтеза. Последние заключаются в проектировании устройства, которое создает электромагнитное поле, обладающее заданными характеристиками, в частности обеспечивает требуемую диаграмму направленности генерируемого излучения, позволяющую осуществлять устойчивую радиосвязь с весьма удаленными объектами.

Обратные задачи и задачи синтеза являются некорректными. Малые изменения в требованиях к характеристикам диаграммы излучения могут приводить к необходимости существенного изменения источников возбуждения, что определяет неустойчивость решения обратной задачи. Для решения этих задач необходимо использовать разработанные А.Н.Тихоновым методы регуляризации. В свою очередь для использования этих методов, связанных с расчетом функционалов, необходимо быстро и эффективно численно решать прямые задачи дифракции и распространения волн при различных типах неоднородностей в волноводах. Эти алгоритмы разрабатывались, в частности, на кафедре математики физического факультета.

Совокупность всех методов решения обратных и прямых задач была использована для решения задачи синтеза излучающих систем. Под руководством А.Н.Тихонова был разработан принципиально новый уровень проектирования. Если до этого обычно в задаче создания заданных диаграмм направленности вопрос ограничивался определением того, как должен быть распределен ток в антенне, то теперь был разработан метод проектирования излучающей системы как целого, с учетом всех физических и конструктивных требований, таких, например, как требования на потери, на способы возбуждения и т.д. Эти задачи решались с участием сотрудников специализированных радиотехнических институтов. Все это позволило получить конструктивные методы создания реальных антенных систем различного назначения. Разработанные методы позволяют при учете ограничений на источники возбуждения антенны и ее конструктивные параметры оптимально удовлетворять требованиям к характеристикам ее излучения. За эти работы в 1976 году А.Н.Тихонову и возглавляемому им коллективу ученых ( в том числе ученых МГУ: А.Г.Свешникову, В.И.Дмитриеву и А.С.Ильинскому) была присуждена Государственная премия СССР.