Рассматривается задача оптимального гашения угловой скорости спутника — твердого тела. По трем произвольно ориентированным в теле осям установлены устройства, вырабатывающие управляющие моменты, пропорциональные проекциям угловой скорости спутника на эти оси. Подобная система исследовалась в [1], где такой тип демпфирования назван модельным. Для оценки эффективности демпфирования используется, как обычно, величина степени устойчивости линеаризованных уравнений движения. При этом задача сводится к поиску значений параметров системы, при которых действительная часть самого правого корня характеристического уравнения максимальна по модулю. В рамках гипотезы о равенстве корней в оптимальной точке получено аналитическое решение.

В работе доказано одно экстремальное соотношение между элементами тензора инерции произвольного твердого тела. А именно, произведение моментов инерции твердого тела относительно трех взаимно ортогональных осей больше (или равно) произведения главных центральных моментов инерции и максимально при таком выборе осей, когда три момента становятся равными друг другу. При этом показано, что такой выбор осей всегда возможен. Полученный результат допускает и геометрическую интерпретацию. Пусть имеется трехосный эллипсоид. Тогда всегда можно ввести декартову систему координат с началом в центре эллипсоида таким образом, что точки пересечения координатных осей с эллипсоидом окажутся на одинаковом расстоянии от его центра.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (Гранты 07-01-00040 и 09-01-00431).

1. К.В. Луканин., В.А. Сарычев. Модельная задача о быстродействии и точности системы гравитационной стабилизации спутников. Препринт Института прикладной математики АН СССР, 1971, №47.